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Homográfica de 1° y 2° grado: forma general, asíntotas, análisis completo
⏱ calculando...Las funciones racionales elementales son las "fábricas" de las que derivan todas las demás. Toman un número, lo procesan y devuelven su recíproco (o su cuadrado recíproco).
Homográfica de 1° grado
| \(x\) | \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-4\) | \(-\frac{1}{4}\) | \(\left(-4,\,-\frac{1}{4}\right)\) |
| \(0\) | \(\nexists f(0)\) | \(x=0 \notin Dom(f)\) |
| \(\frac{1}{2}\) | \(2\) | \(\left(\frac{1}{2},\,2\right)\) |
| \(1\) | \(1\) | \((1,\,1)\) |
| \(3\) | \(\frac{1}{3}\) | \(\left(3,\,\frac{1}{3}\right)\) |
\(Dom(f) = \{x \in \mathbb{R} / x \neq 0\} = \mathbb{R} - \{0\}\)
Homográfica de 2° grado
| \(x\) | \(f(x) = \dfrac{1}{x^2}\) | Punto |
|---|---|---|
| \(-4\) | \(\frac{1}{16}\) | \(\left(-4,\,\frac{1}{16}\right)\) |
| \(0\) | \(\nexists f(0)\) | \(x=0 \notin Dom(f)\) |
| \(\frac{1}{2}\) | \(4\) | \(\left(\frac{1}{2},\,4\right)\) |
| \(1\) | \(1\) | \((1,\,1)\) |
| \(3\) | \(\frac{1}{9}\) | \(\left(3,\,\frac{1}{9}\right)\) |
\(Dom(f) = \{x \in \mathbb{R} / x^2 \neq 0\} = \mathbb{R} - \{0\}\)
Diferencia clave: \(\frac{1}{x}\) tiene dos ramas en cuadrantes opuestos (I y III) porque cambia de signo. \(\frac{1}{x^2}\) siempre es positiva, por eso ambas ramas quedan en la mitad superior del plano.
Gema
Estas dos funciones son como las "piezas de LEGO" de todo lo que sigue. Cuando domines su comportamiento visual, las transformaciones van a ser pan comido.
Homográfica de 1° grado
$$ f(x) = \frac{a}{x - h} + k $$Homográfica de 2° grado
$$ f(x) = \frac{a}{(x - h)^2} + k $$| Parámetro | Nombre | Efecto | Genera |
|---|---|---|---|
| \(a\) | Factor de escala | Estira/comprime y puede invertir la curva | — |
| \(h\) | Traslación horizontal | Desplaza la curva hacia la derecha (\(h>0\)) o izquierda (\(h<0\)) | Asíntota Vertical: \(x = h\) |
| \(k\) | Traslación vertical | Desplaza la curva hacia arriba (\(k>0\)) o abajo (\(k<0\)) | Asíntota Horizontal: \(y = k\) |
\( f(x) = \frac{a}{x - h} + k \)
Asíntota Vertical:
\(x = h\)
\(f(x) = \frac{a}{(x - h)^2} + k\)
Asíntota Horizontal:
\(y = k\)
El signo de \(a\) determina en qué cuadrantes (respecto de las asíntotas) se ubican las ramas.
1° grado, \(a > 0\)
Ramas en cuadrantes I y III respecto de las asíntotas.
1° grado, \(a < 0\)
Ramas en cuadrantes II y IV respecto de las asíntotas.
2° grado, \(a > 0\)
Ambas ramas quedan por encima de la A.H.
2° grado, \(a < 0\)
Ambas ramas quedan por debajo de la A.H.
Elvira
Ojo con esto: en la funcion de 2° grado el denominador siempre es positivo (es un cuadrado), entonces el signo de \(f(x) - k\) depende exclusivamente del signo de \(a\). No te confundas con la de 1° grado, que tiene dos ramas en cuadrantes opuestos.
| \(a = -2\) | (crece hacia la AV) |
| \(h = 1\) | \(\Rightarrow\) A.V.: \(x = 1\) |
| \(k = 4\) | \(\Rightarrow\) A.H.: \(y = 4\) |
| Dom | \(\mathbb{R} - \{1\}\) |
| Im | \(\mathbb{R} - \{4\}\) |
| Crece en | \((-\infty,1) \cup (1,+\infty)\) |
| Decrece en | \(\emptyset\) |
| Concavidad + | \((-\infty,1) \cup \left(\frac{3}{2},+\infty\right)\) |
| Concavidad − | \(\left(1,\frac{3}{2}\right)\) |
La función crece en todo su dominio porque \(a < 0\) en una homográfica de 1° grado implica crecimiento (la derivada es siempre negativa en módulo, pero la curva "sube" hacia la AH desde abajo en cada rama).
| \(a = 3\) | (concavidad hacia arriba) |
| \(h = -1\) | \(\Rightarrow\) A.V.: \(x = -1\) |
| \(k = 2\) | \(\Rightarrow\) A.H.: \(y = 2\) |
El cuadrado de cualquier numero real es \(\geq 0\). No puede ser igual a \(-\frac{3}{2}\). Contradiccion: no hay raices.
$$ \nexists\, x \in \text{Dom}\ f \text{ tal que } f(x) = 0 $$| Dom | \(\mathbb{R} - \{-1\}\) |
| Im | \((2, +\infty)\) |
| Crece en | \((-\infty, -1)\) |
| Decrece en | \((-1, +\infty)\) |
| Concavidad + | \((-\infty,-1) \cup (-1,+\infty)\) |
| Concavidad − | \(\emptyset\) |
La imagen es \((2, +\infty)\) y no incluye el 2 porque la funcion nunca "toca" la AH, solo se acerca asintoticamente.
Gema
La imagen siempre excluye el valor de \(k\). Es logico: la curva se acerca infinitamente a la AH pero nunca la cruza. Por eso la Im usa parentesis abierto en \(k\), no corchete.
Error 1 — Confundir \(h\) con \(-h\).
Si la función es \(\frac{a}{x+3}\), la asíntota vertical NO es \(x = 3\), es \(x = -3\). El punto crítico surge de \(x + 3 = 0\), que da \(x = -3\).
Error 2 — Incluir \(k\) en la imagen.
La imagen nunca incluye el valor \(k\) (la asíntota horizontal). Si \(k = 4\), entonces \(y = 4 \notin \text{Im}\ f\).
Error 3 — Raíces en la homográfica de 2° grado con \(a\) y \(k\) del mismo signo.
Si al intentar calcular la raíz llegás a \((x-h)^2 = \text{negativo}\), hay que parar: no existe solución real. No hay raíces.
Error 4 — Dibuja solo en el primer cuadrante.
Las asíntotas pueden estar en cualquier parte del plano. Identificá primero la AV y la AH, y recién entonces ubicá las ramas según el signo de \(a\).
Elvira
El Error 1 es el mas frecuente en los examenes. Antes de escribir la asíntota, siempre igualá el denominador a cero y despejas \(x\). No leas el valor de \(h\) directamente de la formula.
Tipo de función. Identificá si es de 1° o 2° grado (el exponente del denominador).
Parámetros \(a\), \(h\), \(k\). Leer directamente de la forma general.
Asíntotas. A.V.: igualar denominador a 0. A.H.: es directamente \(y = k\).
Dominio. Todo \(\mathbb{R}\) excepto el valor que anula el denominador.
Raíz. Resolver \(f(x) = 0\). En 2° grado, verificar si hay contradicción.
Ordenada al origen. Evaluar \(f(0)\). Si \(0\) no pertenece al dominio, no existe.
Imagen. Siempre es \(\mathbb{R} - \{k\}\) para 1° grado, \((k, +\infty)\) si \(a > 0\) ó \((-\infty, k)\) si \(a < 0\) para 2° grado.
Gráfico. Trazar las asíntotas primero. Ubicar raíz y ordenada. Dibujar ramas según signo de \(a\).
Gema y Elvira
El orden importa: parametros → asíntotas → dominio → raíz → ordenada → grafico → análisis. Si seguís este flujo siempre, nunca te vas a olvidar de ningún dato.
\(a = 2\), \(h = -3\), \(k = -1\).
A.V.: \(x = -3\). A.H.: \(y = -1\).
Dom \(f = \mathbb{R} - \{-3\}\).
\(f(0) = \dfrac{2}{3} - 1 = -\dfrac{1}{3}\).
Igualando a 0: \(\ 0 = \dfrac{-3}{x-2} + 6 \Rightarrow -6 = \dfrac{-3}{x-2}\).
\(-6(x-2) = -3 \Rightarrow x - 2 = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{5}{2}\).
Raíz: \(x = \dfrac{5}{2}\).
\(a = -1\), \(h = 2\), \(k = 3\). A.V.: \(x = 2\). A.H.: \(y = 3\).
Dom \(f = \mathbb{R} - \{2\}\).
Como \(a < 0\), la curva queda por debajo de la A.H.: Im \(f = (-\infty, 3)\).
Raíz: \(0 = \dfrac{-1}{(x-2)^2} + 3 \Rightarrow (x-2)^2 = \dfrac{1}{3} \Rightarrow x - 2 = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
Existen dos raíces: \(x = 2 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
\(a=4>0\), \(h=-2\), \(k=1\). A.V.: \(x=-2\). A.H.: \(y=1\).
Dom \(f = \mathbb{R}-\{-2\}\).
Im \(f = (1, +\infty)\) (ambas ramas por encima de A.H.).
Raíz: \(0 = \dfrac{4}{(x+2)^2}+1 \Rightarrow (x+2)^2 = -4\). Contradicción: no hay raíces.
Ordenada: \(f(0) = \dfrac{4}{4} + 1 = 2\). Punto \((0,2)\).
Crece en \((-\infty,-2)\). Decrece en \((-2,+\infty)\).
Concavidad positiva en todo el dominio (el denominador cuadrado siempre curva la función "hacia arriba").
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